第一種電気工事士免状を汚損しましたが、再交付はできますか。

可能です。最初に免状の交付を受けた都道府県での手続きとなります。
また、再交付申請時に、免状記載の氏名の変更のある時は、書換申請も同時に行ってください。
なお、大阪府では、大阪府電気工事工業組合本部にてこれらの手続きを行っています。