期限切れのパスポートを紛失した場合、届出は必要ですか。

既に期限切れのパスポートであれば、紛失の届出をする必要はありません。
なお、旅券法第19条では、パスポートが失効したとき、名義人は都道府県知事又は外務大臣にそのパスポートを返納することになっています。
そのため、今後、新たに旅券発給を希望され、申請する際には、以前の旅券が期限切れであることとその旅券が見つからないことを申し出てください。